- Udowodnić, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to ich kowariancja jest równa zero.
- Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowych wartościach przeciętnych. Wykazać, że dla zależnych zmiennych losowych X i Z = X3 ⋅ Y zachodzi równość E(XZ) = E(X) ⋅ E(Z).
- Rzucamy jedną kostką do gry. Zmienna losowa X przyjmuje wartość 0, gdy wyrzucimy parzystą liczbę oczek, zaś wartość 1, gdy liczba oczek jest nieparzysta. Zmienna losowa Y przyjmuje wartość 1, gdy liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3, a wartość 2, gdy liczba oczek nie jest podzielna przez 3. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej (X, Y) oraz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. Zbadać niezależność zmiennych X i Y.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:
yk xi 8 9 10 11 1,2 0,1 0,04 0 0 1,25 0,05 0,11 0,2 0 1,3 0 0,1 0,15 0,1 1,35 0 0 0,05 0,1 Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X i Y oraz ich wartości przeciętne i wariancje. Obliczyć współczynnik korelacji między zmiennymi X i Y.
- Sprawdzić, że funkcja:
jest funkcją gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y). Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej oraz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. Zbadać niezależność zmiennych X i Y oraz obliczyć wartość współczynnika korelacji.$$ \begin{equation} f_{( x,\ y)} =\begin{cases}e^{-( x+y)} & dla\ x,\ y >0\\0 & dla\ innych\ x\ i\ y\end{cases} \end{equation} $$
- * Dobrać stałą c tak, by funkcja
była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.$$ \begin{equation} f_{( x,\ y)} =\begin{cases} c\ x\ y & dla\ 0\leq x\leq 2,0\leq y\leq 1\ \\ 0 & dla\ innych\ x\ i\ y \end{cases} \end{equation} $$
- * Dwie osoby z miasta A usiłują na zmianę, co trzy minuty, uzyskać automatyczne połączenie telefoniczne z miastem B, jednak każda z nich nie więcej niż trzykrotnie (oczywiście próby są przerywane z chwilą uzyskania przez jedną z osób połączenia). Prawdopodobieństwo uzyskania połączenia w czasie trzech minut wynosi 0,1. Wyznaczyć funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych: X - liczba prób osoby rozpoczynającej, Y - liczba prób drugiej osoby, U - łączna liczba prób.
- * Jedziemy do domu kolejno dwoma autobusami, z których każdy przyjeżdża na swój przystanek co 10 minut (niezależnie jeden od drugiego). Zakładając, że przychodzimy na przystanek w losowo wybranej chwili (a więc czas oczekiwania na oba autobusy ma rozkład jednostajny), obliczyć prawdopodobieństwo tego, że łączny czas oczekiwania na obu przystankach nie przekroczy 17 minut.
Powiązane tematy: