Zestaw 5

33. Udowodnić, że wartość przeciętna sumy dwóch zmiennych losowych równa się sumie wartości przeciętnych tych zmiennych.
34. Udowodnić, że jeśli C jest stałą, a X - zmienną losową, to E(C + X) = C + E(X).
35. Udowodnić, że jeśli C jest stałą, a X - zmienną losową, to E(CX) = C E(X).
36. Obliczyć wartość przeciętną zmiennej losowej X z zadania 18.
37. Czy gra opisana w zadaniu 19 jest sprawiedliwa?
38. Obliczyć wartości przeciętne zmiennych X i U z zadania 21.
39. Znaleźć wartość przeciętną zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym.
40. Znaleźć wartość przeciętną zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym.
41. * Rzucamy monetą do chwili pojawienia się po raz pierwszy orła. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wykonanych rzutów. Znaleźć wartość przeciętną tej zmiennej.
42. * Udowodnić, że wartość przeciętna dyskretnej zmiennej losowej mieści się zawsze w przedziale między najmniejszą i największą możliwą wartością tej zmiennej.
43. * Udowodnić, że jeśli zmienne losowe X₁, X₂,..., X_n przyjmują tylko wartości dodatnie i mają jednakowe rozkłady, to:
    $$ \begin{equation} E\left(\frac{X_{i}}{\sum X_{i}}\right) =\frac{1}{n} \end{equation} $$

Uwaga: Zadania oznaczone gwiazdką (*) nie są obowiązkowe, ale ich (poprawne) rozwiązanie może istotnie wpłynąć na naszą opinię o końcowej ocenie.