Miary asymetrii - Tomasz Bartuś

Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i siłą asymetrii (miary klasyczne):

dla szeregów symetrycznych: $ \begin{equation} \overline{x} =Me=Mo \end{equation} $
asymetria prawostronna: $ \begin{equation} \overline{x} >Me >Mo \end{equation} $
asymetria lewostronna: $ \begin{equation} \overline{x} < Me< Mo \end{equation} $

Asymetria rozkładów — Fig. 1. Stosumek średniej arytmetycznej (*Mean*), mediany (*Median*) i mody (*Mode*) w rozkładach: A – ujemnie asymetrycznym (in. lewostronnie asymetrycznym, lewoskośnym); B – symetrycznym; C – dodatnio asymetrycznym (in. prawostronnie asymetrycznym, prawoskośnym)

WSKAŹNIK SKOŚNOŚCI

Wskaźnik skośności to wielkość bezwzględna wyrażona jako różnica między średnią arytmetyczną a modalną.

$$ \begin{equation} \overline{x} -Mo \end{equation} $$ (1)

Wskaźnik skośności można wyznaczyć również przy pomocy miar pozycyjnych:

w rozkładzie symetrycznym: $ \begin{equation} ( Q_{3} -Me) -( Me-Q_{1}) =0 \end{equation} $
przy asymetrii prawostronnej: $ \begin{equation} ( Q_{3} -Me) -( Me-Q_{1}) >0 \end{equation} $
przy asymetrii lewostronnej: $ \begin{equation} ( Q_{3} -Me) -( Me-Q_{1}) < 0 \end{equation} $

WSPÓŁCZYNNIK SKOŚNOŚCI (ASYMETRII)

Współczynniki skośności (asymetrii) - są stosowane w porównaniach, do określenia siły oraz kierunku asymetrii, są to liczby niemianowane, im większa ich wartość tym silniejsza asymetria.

Klasyczny

$$ \begin{equation} A=\frac{\sum _{i=1}^{n} (x_{i} -\overline{x} )^{3}}{ns^{3}} \end{equation} $$ (2)

Współczynnik asymetrii Pearsona

$$ \begin{equation} A_{s} =\frac{\overline{x} -Mo}{s} \end{equation} $$ (3)

lub

$$ \begin{equation} A_{d} =\frac{\overline{x} -Mo}{d} \end{equation} $$ (4)

Jeżeli:
A_s > 0 - asymetria prawostronna, czyli prawa strona (prawy ogon rozkładu) jest dłuższy,
A_s = 0 - rozkład symetryczny, obie strony rozkładu są podobne,
A_s < 0 - asymetria lewostronna, czyli lewa strona (lewy ogon rozkładu) jest dłuższy.

Pozycyjny współczynnik asymetrii

$$ \begin{equation} A_{Q} =\frac{( Q_{3} -Me) -( Me-Q_{1})}{( Q_{3} -Me) +( Me-Q_{1})} =\frac{Q_{3} +Q_{1} -2Me}{2Q} \end{equation} $$ (5)

gdzie:

Q₁ – kwartyl pierwszy (dolny),
Me (lub Q₂) – mediana (kwartyl drugi),
Q₃ – kwartyl trzeci (górny),
2Q – rozstęp kwartylny (Q₃ - Q₁).

Jeżeli:
A_Q > 0 - asymetria prawostronna, czyli prawa strona (prawy ogon rozkładu) jest dłuższy,
A_Q = 0 - rozkład symetryczny, obie strony rozkładu są podobne,
A_Q < 0 - asymetria lewostronna, czyli lewa strona (lewy ogon rozkładu) jest dłuższy.

Pozycyjny współczynnik asymetrii określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się miedzy pierwszym z trzecim kwartylem.

Powiązane tematy:

statystyka miary asymetrii miary skośności asymetria skośność asymetria dodatnia asymetria ujemna rozkład prawoasymetryczny rozkład lewoasymetryczny rozkład lewoskoścny rozkład prawoskośny rozkład normalny wskaźnik skośności współczynnik skośności współczynnik asymetrii