Miary wartości przeciętnej

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.

szereg szczegółowy

$$ \begin{equation} \overline{x} =\frac{x_{1} +x_{2} +...+x_{n}}{n} =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} x_{i} \end{equation} $$ (1)

gdzie:
n - liczebność zbiorowości próbnej (próby),
x_i - wariant cechy.
Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA

szereg rozdzielczy punktowy

$$ \begin{equation} \overline{x} =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{k} x_{i} n_{i} \end{equation} $$ (2)

szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi

$$ \begin{equation} \overline{x} =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{k} x̊_{i} n_{i} \end{equation} $$ (3)

gdzie: $ \begin{equation} \mathring{x} \end{equation} $ oznacza środek przedziału klasowego

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych $\begin{equation} \overline{x_{i}} \end{equation}$ i liczebności w i-tej grupie n_i:

$$ \begin{equation} \overline{x} =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{r}\overline{x_{i}} n_{i} \end{equation} $$ (4)

gdzie $ \begin{equation} N=\sum _{i=1}^{r} n \end{equation} $ jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach.

Podstawiając w miejsce n_i wskaźnik struktury w_i otrzymamy zależności:

$$ \begin{equation} \overline{x} =\sum _{i=1}^{k} x_{i} \omega _{i} \end{equation} $$ (5)

lub

$$ \begin{equation} \overline{x} =\sum _{i=1}^{k}\dot{x}_{i} \omega _{i} \end{equation} $$ (6)

WYBRANE WŁAŚCIWOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości:

$$ \begin{equation} n\overline{x} =\sum _{i=1}^{n} x_{i} \end{equation} $$ (7)

lub dla szeregu rozdzielczego:

$$ \begin{equation} n\overline{x} =\sum _{i=1}^{k} x_{i} n_{i} \end{equation} $$ (8)

średnia arytmetyczna spełnia warunek:

$$ \begin{equation} x_{min} < \overline{x} < x_{max} \end{equation} $$ (9)

suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero:

$$ \begin{equation} \sum _{i=1}^{n}( x_{i} -\overline{x}) =0 \end{equation} $$ (10)

lub

$$ \begin{equation} \sum _{i=1}^{k}( x_{i} -\overline{x}) n_{i} =0 \end{equation} $$ (11)

Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna:

$$ \begin{equation} \sum _{i=1}^{n}( x_{i} -\overline{x})^{2} =min \end{equation} $$ (12)

lub

$$ \begin{equation} \sum _{i=1}^{k}( x_{i} -\overline{x})^{2} n_{i} =min \end{equation} $$ (13)

średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%), możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne,

średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy,

średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

ŚREDNIA HARMONICZNA

Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość pojazdu w km/h.

szereg szczegółowy

$$ \begin{equation} x_{H} =\frac{n}{\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}} \end{equation} $$ (14)

szereg rozdzielczy

$$ \begin{equation} \overline{x_{H}} =\frac{\sum _{i=1}^{k} n_{i}}{\sum _{i=1}^{k}\frac{n_{i}}{x_{i}}} \end{equation} $$ (15)

Przyjmując, że waga

$$ \begin{equation} w_{i} =x_{i} n_{i} \end{equation} $$ (16)

oraz

$$ \begin{equation} W=\sum _{i=1}^{k} w_{i} \end{equation} $$ (17)

to:

$$ \begin{equation} \overline{x_{H}} =\frac{W}{\sum _{i=1}^{k}\frac{w_{i}}{x_{i}}} \end{equation} $$ (18)

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

$$ \begin{equation} \overline{x_{G}} =\sqrt[n]{x_{1} \cdotp x_{2} \cdotp ...\cdotp x_{n}} =\sqrt[n]{\prod _{i=1}^{n} x_{i}} \end{equation} $$ (19)

MODALNA

Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej.

Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:

$$ \begin{equation} Mo=x_{0m} +\frac{n_{m} -n_{m-1}}{( n_{m} -n_{m-1}) +( n_{m} -n_{m+1})} h_{m} \end{equation} $$ (20)

gdzie:
m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,
x_0m - dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,
n_m - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m, n_m-1,
n_m+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m -1 i m+1,
h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.

Powiązane tematy:

statystyka estymacja średnia arytmetyczna średnia ważona średnia harmoniczna średnia geometryczna modalna moda