Miary pozycyjne - Tomasz Bartuś

KWANTYLE

Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

Kwartyl pierwszy (Q₁) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q₁, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla.

Kwartyl drugi (mediana) (Me) dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa.

Kwartyl trzeci (Q₃) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q₃, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla.

Fig. 1. Miary pozycyjne na wykresie ramka-wąsy

Decyle np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pirwszego.

Kwartyl drugi (mediana Me)

Dla szeregu szczegółowego:

$$ \begin{equation} Me=\begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & gdy\ n\ jest\ nieparzyste\\ \frac{1}{2}( x_{_{\frac{n}{2}}} +x_{_{\frac{n}{2} +1}}) & gdy\ n\ jest\ parzyste \end{cases} \end{equation} $$ (1)

Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie):

$$ \begin{equation} Me=x_{0m} +\frac{N_{Me} -\sum _{i=1}^{m-1} n_{i}}{n_{m}} \cdotp h_{m} \end{equation} $$ (2)

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w której występuje mediana,
$x_{0m}$ - dolna granica przedziału, w którym występuje mediana,
n_m - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m,
$\sum _{i=1}^{m-1} n_{i}$ - suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana,
h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana,
N_Me - pozycja mediany, czyli $N_{Me} =\frac{n}{2}$.

Kwartyl pierwszy Q₁ i trzeci Q₃

Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu.

Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się ustaleniem ich pozycji:

$$ \begin{aligned} N_{Q_{1}} =\frac{n}{4} \\ N_{Q_{3}} =\frac{3n}{4} \end{aligned} $$ (3)

Kwartyl pierwszy Q₁

$$ \begin{equation} Q_{1} =x_{0m} +\frac{N_{Q_{1}} -\sum _{i=1}^{m-1} n_{i}}{n_{m}} \cdotp h_{m} \end{equation} $$ (4)

Kwartyl trzeci Q₃

$$ \begin{equation} Q_{3} =x_{0m} +\frac{N_{Q_{3}} -\sum _{i=1}^{m-1} n_{i}}{n_{m}} \cdotp h_{m} \end{equation} $$ (5)

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje odpowiadający mu kwartyl,
$x_{0m}$ - dolna granica przedziału,
n_m - liczebność przedziału, w którym występuje odpowiedni kwartyl,
$\sum _{i=1}^{m-1} n_{i}$ - liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego kwartyl,
h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest odpowiedni kwartyl.

Powiązane tematy:

statystyka miary pozycyjne kwantyle kwartyl pierwszy kwartyl drugi mediana kwartyl trzeci decyle