Test chi2 zgodności rozkładu empirycznego z teoretycznym

Test χ² (goodness-of-fit chi-squared test) należy do grupy testów nieparametrycznych. Jego algorytm opiera się na porównaniu częstości zdarzeń wynikających z doświadczenia (empirycznych) ze spodziewanymi. Warunkiem stosowalności testu jest odpowiednio liczna populacja danych. Przyjmuje się, że można go stosować w przypadku populacji większych niż 30 obserwacji. Obostrzenie to wynika z konieczności podziału populacji na klasy i warunku obecności w każdej z klas minimum 5 przypadków (Statistica), (niektórzy (Greń J., 1976) postulują nawet minimum 8 przypadków).

gdzie:
O_j - zdarzenia obserwowane [Observed];
E_j - zdarzenia spodziewane [Expected].

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że rozkład zmiennej, którą badamy jest zgodny z danym rozkładem teoretycznym.

Przypuśćmy, że petrograf bada mikroskopowo próbkę cienką jakiejś skały magmowej. Jego zadaniem jest nadanie badanej skale poprawnej nazwy. Do analizy posługuje się planimetrią. Stosując specjalny aparat sprzężony z mikroskopem zlicza 100 kryształów występujących w próbce. Z literatury wiadomo, że w granicie stosunek 4 głównych minerałów ma się do siebie tak jak 4 : 1 : 2 : 3

Mamy odpowiedzieć na pytanie czy badana próbka pozwala na nazwanie SKAŁY granitem? Sskałę w tym momencie traktujemy jako populację generalną, zaś zliczone ilości minerałów jako populację próby.

Stawiamy hipotezę zerową:
H₀: Rozkład pomierzonych w skale 100 minerałów jest zgodny z podawanym w literaturze rozkładem dla granitu (4 : 1 : 2 : 3)

My w badaniach statystycznych będziemy oczywiście badać zgodność rozkładów naszych danych z rozkładami normalnym lub logarytmiczno-normalnym.

Obliczamy statystykę χ² (Tab. 1).

Weryfikacja hipotezy zerowej odbywa się przez porównanie ze znanym, stablicowanym rozkładem χ². W tablicach statystycznych należy sprawdzić ile w naszym przypadku wynosi wartość krytyczna testu. Jest ona zależna od dwóch czynników:

• założonego wcześniej poziomu istotności - α (prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (błąd polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, która w rzeczywistości jest prawdziwa). Określa również maksymalne ryzyko błędu, jakie jesteśmy skłonni zaakceptować. Wybór wartości α zależy od nas i od tego jak dokładnie chcemy weryfikować daną hipotezę, najczęściej przyjmuje się α = 0,05 lub 0,01.
• liczby stopni swobody - df (ang: degres of freedom).

Pierwszy czynnik już mamy (α = 0,05). Pozostaje rozpoznanie enigmatycznej nazwy "liczba stopni swobody". Z definicji wiadomo, że jest to wartość obliczana z prostego wzoru:

gdzie:
k - ilość klas wziętych do obliczeń,
p - ilość parametrów szacowanych z próby
(jeżeli badamy zgodność rozkładu z rozkładem normalnym, wtedy rozkład możemy wyestymować z dwóch parametrów: średniej i odchylenia standardowego).

PRZYKŁAD cd

W związku z tym, że w naszym przykładzie nie badamy zgodności rozkładu z rozkładem normalnym (ilość szacowanych parametrów z próby był równy 0), wzór na liczbę stopni swobody przybiera nieco zmienioną postać, a mianowicie: df = k - 1. Tak więc dla nas:
α = 0,05
df = 4 - 1 = 3

dla powyższych parametrów z tablicy odczytujemy lub obliczamy wartość krytyczną testu: χ²_0.05 = 7,815.

W związku z tym, że nasza wartość testu χ² wyniosła 1,258 i co za tym idzie spełniony jest warunek:
χ² < χ²_0,05, należy stwierdzić, że:
NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY ZEROWEJ H₀.
Innymi słowy:
z prawdopodobieństwem 95% można powiedzić, że badana skała jest granitem.

W praktyce badawczej najczęściej spotykamy się z koniecznością zbadania zgodności rozkładów prób z rozkładem normalnym lub lognormalnym. Pakiet Statistica poza informacją na temat wartości testu χ², podaje także liczbę stopni swobody (df) oraz prawdopodobieństwo p, które można zinterpretować jako prawdopodobieństwo błędu, popełnianego w momencie odrzucenia hipotezy zerowej (mówiącej o zgodności rozkładu próby z jednym z rozkładów teoretycznych).
Tak więc błąd związany z odrzuceniem hipotezy wynosi p ⋅ 100%.

• Jeżeli p ≥ α (α = 0,05) ⇒ Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej;
• Jeżeli p < α ⇒ hipotezę zerową odrzucamy;