Badanie zgodności rozkładów z rozkładem normalnym

2.3. Badanie zgodności rozkładów empirycznych z rozkładem normalnym za pomocą testu χ²

Badanie wykorzystuje statystykę χ² (wzór poniżej), która bada różnice pomiędzy ilością obserwacji przypadających na kolejne klasy szeregu rozdzielczego, a teoretyczną ilością obserwacji wynikającą z weryfikacji hipotezy zerowej (np. spodziewaną ilością obserwacji w rozkładzie normalnym).

gdzie:

• O_j - zdarzenia obserwowane [Observed]; (w Tab. 3. wyrażone są ilością elementów próby w poszczególnych przedziałach klasowych (n_i)),
• E_j - zdarzenia spodziewane [Expected].

W jednej z wcześniejszych analiz obliczyliśmy szeregi rozdzielcze dla obu badanych zmiennych (Tab. 1.) teraz wykorzystamy je do badania zgodności rozkładów empirycznych obu zmiennych z rozkładem normalnym. W związku z tym, że nie znamy parametrów hipotetycznego rozkładu normalnego badanych prób, musimy więc skorzystać z oszacowań próbkowych.

Hipoteza zerowa (H₀) głosić więc będzie, że zmienne X i Y mają rozkłady zgodne z normalnymi o parametrach: N(x̄, s).

Kolejnym krokiem powinno być obliczenie prawdopodobieństw, że nasze zmienne losowe przyjmą wartości z poszczególnych klas szeregu rozdzielczego. W związku z tym, że tablice statystyczne, w których mamy dystrybuantę rozkładu normalnego, zostały obliczone dla parametrów N(0, 1), jesteśmy zmuszeni do zestandaryzowania granic klas szeregu rozdzielczego. Standaryzacji dokonujemy wykorzystując wzór:

Zestandaryzowane górne granice przedziałów klasowych wpisujemy w 4 kolumnie tabeli Tab. 3 (x_{i max}^'). Dla uproszczenia przyjmiemy, że dolną granicą pierwszego przedziału klasowego jest -∞, a górną granicą ostatniego przedziału klasowego jest +∞.

Z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego odczytujemy wartości F(x_{i max}^'), a następnie ze związku:

obliczamy i wpisujemy do tabeli (kolumna 6) odpowiednie prawdopodobieństwa. Z poniższego wzoru możemy teraz obliczyć oczekiwane ilości elementów w każdej klasie:

Gdy jedna z klas jest zawiera mniej liczebności oczekiwanych (e_i) niż 5, klasę tę należy połączyć z sąsiednią np. poprzednią. Nie pozostaje nic, jak tylko obliczyć wartość statystyki χ² oraz porównać obliczoną wartość z wartością krytyczną dla założonego wcześniej poziomu istotności - α (najczęściej równego 0.05; - co odpowiada marginesowi popełnienia błędu 5%), i odpowiedniej liczby stopni swobody - df (ang: degres of freedom).

Pierwszy czynnik już mamy (α = 0.05). Co do liczby stopni swobody to z definicji wiadomo, że jest to wartość obliczana ze wzoru:

gdzie:

• k - ilość klas wziętych do obliczeń,
• p - ilość parametrów szacowanych z próby (jeżeli badamy zgodność rozkładu z rozkładem normalnym, wtedy rozkład możemy wyestymować z dwóch parametrów: średniej i odchylenia standardowego).

Na koniec pozostaje jedynie obliczenie wartości statystyki χ². Liczymy różnice pomiędzy empirycznymi liczebnościami elementów w poszczególnych klasach szeregu rozdzielczego oraz liczebnościami teoretycznymi wynikającymi z dystrybuanty rozkładu normalnego. Podnosimy je do kwadratu, po czym po prostu sumujemy wartości otrzymane dla wszystkich przedziałów szeregu rozdzielczego.

Jeżeli obliczona wartość jest większa lub równa wartości krytycznej testu odczytanej z tablic rozkładu χ² (dla założonego poziomu istotności (α) i odpowiedniej liczby stopni swobody (df)),

... wtedy istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej. Rozkład populacji genralnej badanej cechy ma najprawdopodobniej wyraźne odstępstwa od normalności.

Należy pamiętać, że w związku z tym, że standardowy rozkład normalny N(0, 1) jest symetryczny względem realizacji zmiennej losowej X równej wartości przeciętnej tej zmiennej (m = 0), w tablicach statystycznych przedstawia się wartości dystrybuanty teoretycznej jedynie dla nieujemnych realizacji tej zmiennej. Zgodnie z własnościami dystrybuanty, gdy zmienna losowa przyjmie wartości ujemne, ich dystrybuantę należy obliczyć wg. wzoru:

2.4. Badanie zgodności rozkładów empirycznych z rozkładem normalnym za pomocą testu Kołmogorowa-Smirnowa

Test K-S wykorzystuje statystykę λ, która opiera się na porównaniu dystrybuanty empirycznej (kumulanty) ze stablicowaną dystrybuantą teoretyczną, wynikającą z weryfikowanej hipotezy zerowej H₀.

Tak jak w przypadku badania zgodności rozkładu empirycznego z wybranym rozkładem teoretycznym za pomocą testu χ², tak i tutaj, stawiamy hipotezę zerową (H₀):

H₀: F(a_i') = K(a_i') (istnieje zgodność pomiędzy dystrybuantami, a więc i rozkładami: empirycznym i teoretycznym).

W przypadku licznych populacji, do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystuje się rozkład (graniczny) statystyki λ:

gdzie:

(dla zbiorów licznych), a dla licznych populacji próby:

Wypełniamy Tab. 4.

gdzie:

• i - nr i-tej klasy,
• a_i - górna granica i-tej klasy,
• a_i^' - zestandaryzowana górna granica i-tej klasy,
• n_i - liczebność i-tej klasy,
• K(a_i^') - dystrybuanta rozkładu empirycznego (kumulanta) (wg. wzoru),
• F(a_i^') - dystrybuanta rozkładu teoretycznego (odczytywana z tablic dystrybuanty rozkładu teoretycznego np. normalnego),
• |K(a_i^') - F(a_i^')|- moduł różnic pomiędzy dystrybuantą empiryczną i teoretyczną.

Z tablic rozkładu (granicznego) λ Kołmogorowa odczytujemy wartość krytyczną statystyki λ dla obranego poziomu istotności (λ_α). Jeżeli spełniony zostaje warunek:

..., wtedy istnieją przesłanki do odrzucenia hipotezy zerowej (H₀). Innymi słowy populacja próby nie daje podstaw do stwierdzenia, że populacja generalna charakteryzuje się rozkładem normalnym.