Test losowości rozkładu zdarzeń

Losowość zdarzeń oznacza, że wystąpienie jednego zdarzenia nie oddziaływuje probabilistycznie na możliwość wystąpienia innego zdarzenia. W geologii mamy najczęściej do czynienia z innymi sytuacjami. Trzęsienie ziemi lub erupcja wulkanu oddziałują na prawdopodobieństo kolejnych zdarzeń tego typu.

Wyobraźmy sobie, że w ciągu okresu czasu wynoszącego 100 lat, mamy do czynienia z 10-cioma zdarzeniami o rozkładzie losowym. Jeżeli cały analizowany okres podzielimy na dekady, to okaże się, że w większości dekad będzie miało miejsce jedno zdarzenie, być może w kilku dekadach zdarzenia będą dwa lub nie będzie ich wcale. Dekad o ilości zdarzeń większej od dwóch, z uwagi na niezwykle małe prawdopodobieństwo takiego wystąpienia, nie będzie zapewne wcale. Rozkład częstotliwości wystąpienia zdarzeń losowych z powyższego przykładu przyjmie model Poissona.

Rozkład Poissona jest jednym z rozkładów dyskretnych (skokowych). Stosuje się go w przypadku określania prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń stosunkowo rzadkich i niezależnych od siebie przy występowaniu dużej ilości doświadczeń.
Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego.

Fig. 1. przedstawia rozkład horyzontów tufitowych obserwowanych w wybranym profilu geologicznym. Liczby oznaczajš położenie horyzontów tufitowych względem podstawy profilu

Jeżeli zdażenia jakimi są poziomy skał piroklastycznych związane z okresami nasilonej działalności wulkanicznej występują w sekwencji losowo, wtedy liczba obserwacji w każdym z regularnie interwałów profilu podlegać będzie rozkładowi Poissona. Jednocześnie trzeba pamiętać, że tego typu zdarzenia w większym stopniu związane są z procesami sedymentacyjnymi niż cyklicznością zjawisk wulkanicznych.

Jeżeli użyjemy interwałów 3 m miąższości wtedy otrzymamy następujące wyniki:

Tak więc rozkład zmiennej losowej jaką jest liczba poziomów tufitowych w interwałach o stałej miąższości równej 3 m będzie wyglądał następująco:

Aby zbadać czy otrzymany rozkład jest zgodny z teoretycznym rozkładem Poissona o znanej gęstości prawdopodobieństwa zdarzeń, użyjemy testu χ².

gdzie:

• O_j - zdarzenia obserwowane [Observed];
• E_j - zdarzenia spodziewane [Expected].

Stawiamy hipotezę zerową w brzmieniu:

H₀: rozkład zdarzeń występowania tufitów w badanym profilu ma charakter losowy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa jaką jest liczba poziomów tufitowych przypadająca na każdy z regularnych interwałów obliczamy ze wzoru na rozkład Poissona [szczegóły zob.: Rozkłady zmiennych losowych dyskretnych].

gdzie:

• λ - wartość przeciętna (oczekiwana) zmiennej losowej,
• k - zmienna losowa będąca liczbą sukcesów (liczba zdarzeń elementarnych w interwale).

gdzie:

• N - liczba doświadczeń (liczba poziomów tufitowych - u nas N = 17),
• p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu.

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

gdzie:

• T - liczba regularnych interwałów (u nas T = 15)

tak więc:

W związku z zaleceniem dla testu χ² aby łączyć klasy w których liczba oczekiwanych elementów jest mniejsza niż 5, połączono zmienne losowe 2, 3, 4 i 5 w jedną klasę 2-∞.

Tak więc:
χ² = 0.212
α = 0.05
df = k - p - 1 = k - 1 = 2
χ²_{α, df} = 5.99

Z tego wynika, że nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (H₀), co jednocześnie oznacza, że nie możemy wykluczyć, że rozkład tufitów w badanym profilu ma rozkład losowy.